Birazoku

DİKKAT KUANTUM İÇERİR
…VE ANLAMAK İÇİN EN İYİ FIRSATINIZ BU KİTAP OLABİLİR

“Al-Khalili sizi bilimin zirvelerine doğru yönlendiriyor ama bunu öyle bir aldatıcı rahatlıkla yapıyor ki farkına vardığınızda kendinizi çoktan Schrödinger’in kedisine gözünüzü dikmiş genişleyen evrene dalmış ve kuantum teorisi üzerine düşünür buluyorsunuz ve bundan fazlasıyla zevk alıyorsunuz.”
-Financial Times

BİLİMSEL PARADOKSLARA ETKİLEYİCİ (VE EĞLENCELİ) BİR BAKIŞ

Bilim insanları zaman zaman aklın sınırlarını zorlayan sorular ortaya atarlar . Bir kedi aynı zamanda nasıl hem ölü hem de diri olabilir? Neden Aşil ne kadar hızlı koşarsa koşsun bir tosbağayı geçemiyor? Bir insan nasıl ikizinden on yıl daha yaşlı olabilir?

Bilimin iletişimine yaptığı katkılardan dolayı İngiliz Kraliyet Akademisi tarafından madalyalandırılan Profesör Al-Khalili, bizleri adeta paradoksları yaratanların beynine sokacak kadar anlaşılır ve hünerli anlatımıyla, eğer doğru açıdan bakmayı başarırsak bu paradoksların çözülebileceğini gösteriyor. Bunu yaparken de Einstein’in zaman ve evren teorilerinden, kuantum dünyasından çıkma yepyeni fikirlere kadar insanın bilgi dağarcığına girmiş en önemli kuramlardan faydalanıyor.

PARADOKS aklınızı fazlasıyla zorlayacak bir kitap… ama bundan çok zevk alacaksınız.

***

İçindekiler

Teşekkür ix
Giriş xi

1 Yarışma Programı Paradoksu 1
2 Aşil ve Kaplumbağa 22
3 Olbers Paradoksu 39
4 Maxwell’in Cini 59
5 Ahırdaki Sırık Paradoksu 84
6 İkizler Paradoksu 102
7 Dede Paradoksu 122
8 Laplace’ın Cini Paradoksu 142
9 Schrödinger’in Kedisi Paradoksu 159
10 Fermi Paradoksu 177
11 Kalan Sorular 197

Dizin 202

Giriş

Çeşit çeşit paradoks vardır. Bazıları ekstra bilgi gerektirmeyen düz mantık paradoksları, bazılarıysa altında bütün bir bilimdalının yeraldığı buzdağının ucudur. Çoğu paradoks, genelde hatalı olan bazı varsayımlarda bulunur; üzerinde dikkatlice düşünüldüğünde çözülürler. Aslında bunlara paradoks demek bile doğru değildir, çünkü karışıklık çözüldüğünde paradoks da ortadan kalkar.

Gerçek paradoks, kısırdöngüsel ve kendisiyle çelişen bir sava yol açan, veya mantıksal açıdan imkânsız bir durum doğuran ifadedir. Fakat gündelik kullanımda “paradoks” sözcüğü, benim “paradoksumsu”lar adını verdiğim türden ifadeleri de kapsayan bir anlam kazanmıştır. Bu tür bilmecelerin çıkış yolu olmaz. Bazılarında basit bir numara ya da el çabukluğuyla okurlar veya dinleyenler kandırılır. Numara anlaşıldığında, çelişki veya mantıksal saçmalık ortadan kalkar. Bir başka paradoksumsu türünde ifade ve sonuç ilk başta saçma veya en azından sağduyuya aykırı gelse de, daha dikkatli incelendiklerinde öyle olmadıkları ortaya çıkar; sonuç ise şaşırtıcılığını yitirmez.

Bir de fizikteki paradokslar var elbet. Bunların tamamı −doğrusunu söylemek gerekirse “neredeyse” tamamı− bir parça temel bilimsel bilgiyle çözülebilir; biz de kitapta asıl bunların üzerinde duracağız.

Şimdi gelin gerçek bir mantık paradoksuna kısaca göz atalım. Böylece neyden bahsetmeyeceğimizi de daha net belirtmiş oluruz. Bakacağımız ifade çıkış yolu olmayacak şekilde tasarlanmış bir kısırdöngü.

Şu basit ifadeyi ele alalım: “Bu cümle yanlıştır.” İlk okumada sıradan bir söze benziyor. Ama anlamını düşündüğümüzde mantıksal paradoks gün yüzüne çıkıyor. Üç sözcük bile başımızı ağrıtmaya yetebiliyor anlaşılan. Gerçi eğer buna başağrısı demek mümkünse, yakınlarımıza ve arkadaşlarımıza yaymaktan sadistçe bir zevk duyacağımız, eğlenceli bir başağrısı olduğunu da ekleyebiliriz sanırım. “Bu cümle yanlıştır” sözü, bir yandan söylediği şeyin yanlış olduğunu, yani aslında cümlenin yanlış olmadığını söylüyor −ama öte yandan, cümle yanlış değilse, söylediği şey doğru olmalı, yani cümle yanlış olmalı. Bu kısırdöngü sonsuza kadar böyle devam eder.

Bu türden pek çok paradoks var. Bu kitabın konusu bunlar değil.

Bu kitabın konusu, benim en sevdiğim bilimsel bilmeceler ve gizemler. Bunların ortak özelliği, hepsinin paradoks adıyla ünlenmiş olması; ama doğru bakış açısıyla dikkatlice incelersek bunların paradoks olmadıklarını görürüz. İlk kez karşılaşıldıklarında sağduyuya aykırı gelmekle beraber, sonunda hep fiziğin ince noktalarından birini es geçtikleri ortaya çıkar. Bu es geçilen nokta işin içine katıldığında paradoksun üstüne inşa edildiği sütunlardan biri çöker ve bütün şaşalı bina yerle bir olur. Çözümlenmiş olmalarına rağmen, bunlara paradoks demeyi sürdürürüz. Bunun bir nedeni, ilk dile getirildiklerinde −henüz nerede hata yaptığımızı ayrımsayamadığımız dönemde− kazanmış oldukları kötü ündür; bir diğer nedeniyse, bu şekilde paradoks olarak sunulduklarında, biliminsanlarının bazı karmaşık kavramları kafalarında oturtmalarına yardımcı olmalarıdır. Tabii bir de üzerlerinde düşünmenin bu denli keyifli olması var.

Bakacağımız paradoksların çoğu gerçek birer paradoksmuş gibi duruyor. Mesele de bu zaten. Basit “zaman yolculuğu paradoksu”nu ele alalım: bir zaman makinesiyle geçmişe gidip kendi genç halinizi öldürürseniz ne olur? Genç halinizin yaşlanmasını engellediğiniz için siz de yok mu olursunuz? Eğer öyleyse, yani zaman makinesiyle geçmişe gidecek yaşa gelmeden öldüyseniz genç halinizi kim öldürdü? Yaşlı halinizin kusursuz bir mazereti var: “Ben öldürüldüm, geri gelip kendimi nasıl öldüreyim!” Öte yandan, eğer zamanda geri gidip kendi genç halinizi öldürecek kadar yaşayamadıysanız, o zaman genç halinizi öldürmediniz demektir, ki o zaman da öldürülmemiş olur ve yaşlanabilir, böylece zamanda geri gidip genç halinizi öldürebilirsiniz, vs. Bu gerçekten kusursuz bir mantık paradoksuna benziyor. Üstelik fizikçiler zaman yolculuğu olasılığını −en azından kuramsal olarak− reddetmiş değiller. O zaman işin içinden nasıl çıkacağız? Bu paradoksu 7. bölümde ele alacağım.

Paradoksumsuların hepsini anlamak için bilimsel altyapı gerekmez. Bunu göstermek amacıyla birinci bölümde sırf basit mantık kullanarak çözümlenebilecek birkaç paradoksumsuya yer verdim. Ne demek istediğimi açıklayayım. Temel bir korelasyondan yanlış sonuçlar çıkarmanın mümkün olduğu basit bir istatistiksel paradoksa bakalım. Kilise sayısı yüksek olan şehirlerde suç oranlarının da yüksek olduğu bilinir. Bu paradoksal bir duruma benziyor (tabii kiliselerin suçun ve kanunsuzluğun beslendiği yerler olduğunu düşünmüyorsanız, ki dinsel ve ahlaki görüşünüz ne olursa olsun bu düşük bir olasılık). Bu paradoksal durum kolayca çözümlenebilir. Hem kilise sayısının, hem de suç sayısının çok olması yüksek nüfusun doğal sonuçlarıdır. A’nın, B’ye yol açması ve A’nın, C’ye yol açması, B ile C arasında bir nedensellik ilişkisi olmasını gerektirmez.

Kulağa ilk başta paradoksal gelen ama açıklamasını duyunca ikna olduğumuz bir başka basit örneğe bakalım. Birkaç yıl önce yakın bir İskoç meslektaşımdan duymuştum bunu. “İngiltere’ye giden her İskoç her iki ülkenin de ortalama IQ’sunu yükseltir.” diyordu. Mantık şu: Tüm İskoçlar İngilizlerden daha zeki olduğunu iddia ederler. Dolayısıyla bir İskoç İngiltere’ye gidince İngiltere’nin ortalama IQ’su yükselmiş olur. Gelgelelim, İskoçya’yı bırakıp da İngiltere’ye gitmek o kadar ahmakça bir iştir ki, ancak kafası çalışmayanlar böyle bir işe kalkışır; o kişi gittiği zaman geriye kalanların ortalama IQ’su yükselmiş olur. Gördüğünüz gibi, ilk anda paradoksal gelen bir söz, basit mantıksal çıkarımla −her ne kadar İngilizler pek ikna olmasa da− güzelce çözülebiliyor.

Birinci bölümde bilime başvurmadan çözülebilen birkaç tanınmış paradoksla eğlendikten sonra, seçmiş olduğum dokuz fizik paradoksuna geçeceğiz. Her birini önce ifade edecek, sonra içyüzünü göstererek paradoksun nasıl uçup gittiğini açıklayacağız; bazen hatanın altında yatan mantığı gözler önüne serecek, bazen sorun gibi gözüken şeyin aslında hiç de sorun olmadığını ortaya çıkaracağız. Hepsi oldukça eğlenceli, çünkü hem zihinsel açıdan bizi zorluyorlar, hem de hepsinin bir çıkış kapısı var. Sadece nereye bakacağımızı bilmemiz gerekiyor; bilimsel kavrama gücümüzü artırmalı, Aşil’in topuğunun nerede olduğunu bulmalı, mızrağımızı oraya hedeflemeliyiz −paradoks, paradoksluktan çıkana dek.

Paradokslarımızın bir kısmının isimleri tanıdık; örneğin Schrödinger’in Kedisi Paradoksu −kilitli bir kutuya hapsettiğimiz ve açana değin hem ölü, hem canlı olan talihsiz kedinin paradoksu. Belki daha az tanıdık olan, ama yine bazılarının bildiği Maxwell’in Cini Paradoksu −bir başka kilitli kutunun içinde taht kurmuş, kutunun içindekileri kendi keyfine göre düzenleyerek fiziğin en kutsal buyruklarından Termodinamiğin İkinci Yasası’nı çiğneyen hayali varlık. Bu tür paradoksları ve çözümlerini anlayabilmek için bazı temel bilimsel gerçekleri kavramamız gerekli; bunun için kendime şöyle bir görev yüklüyorum: bu bilimsel kavramları size gereksiz ayrıntılardan olabildiğince uzak, ayrıca kalkulus, termodinamik veya kuantum mekaniği gibi konuların derinliklerinde kaybolmadan açıklamaya çalışacağım.

Bu kitaptaki paradoksların çoğunu son 14 yıldır görelilik üzerine verdiğim lisans dersinden derledim. Einstein’ın uzay ve zaman üzerine fikirleri, Ahırdaki Sırık Paradoksu, İkizler Paradoksu ve Dede Paradoksu gibi mantıksal zekâ bilmecelerine zemin hazırlamıştır. Schrödinger’in Kedisi gibi bazı paradokslarsa, kimilerinin gözünde hâlâ doyurucu bir yanıta kavuşmayı beklemekte.

Fiziğin en büyük saydığım gizemlerini seçerken, çözülmemiş en büyük soruları hedef almadım. “Evrenimizdeki toplam maddenin %95’ini oluşturan karanlık madde ve karanlık enerji neyden yapılmıştır?” veya “Büyük Patlama’dan önce birşey var mıydı? Varsa ne vardı?” gibi bilimin henüz yanıtlayamadığı büyük ve derin sorular konumuz dışında. Bunların bazılarını, örneğin galaksilerin kütlesinin büyük çoğunluğunu oluşturan karanlık maddenin içeriğinin ne olduğu sorusunu yakın gelecekte, Cenevre’deki Büyük Hadron Çarpıştırıcısı gibi parça hızlandırıcılar yeni ve heyecan verici keşifler yapmayı sürdürürlerse yanıtlamamız mümkün olabilir. Büyük Patlama’dan önce zamanın tanımı gibi bazı sorular ise sonsuza kadar yanıtsız kalabilir.

Elimden geldiğince çeşitli konulara yer vermeye gayret ettim. Önümüzdeki bölümlerde değineceğimiz paradoksların hepsi, uzay ve zamanın doğasına, en küçükten en büyük boyuta kadar Evren’in özelliklerine dair derin soruları ele alıyor. Bazıları kuramların bulunduğu öngörüleri dile getiriyor. Bu öngörüler ilk kez duyulduğunda garip gelse de, kuramın altındaki fikirler anlaşıldığında akla yatkın gelmeye başlıyorlar. Bakalım bir yandan bütün bu paradoksların hakkından gelirken bir yandan siz sevgili okurlarımla ufuk genişletici ve keyifli zaman geçirebilecek miyiz?

BİR

Yarışma Programı Paradoksu
Aklınızı alabilecek basit olasılık hesapları

Fiziğe dalmadan önce birkaç basit, eğlenceli, kafa karıştırıcı bilmeceyle sizi ısındırsam fena olmaz diye düşünüyorum. Şunu belirtmeliyim ki kitabın geri kalanında olduğu gibi, bu bölümdekilerin de hiçbiri gerçek paradoks değil aslında; biraz dikkatli akıl yürütüldüğünde gizemleri ortadan kaldırılabilir. Fakat sonradan karşılaşacağımız, altlarında yatan fiziği kavramamızı gerektiren paradokslardan farklı olarak, bu bölümdeki paradokslar bilimsel bir altyapı olmadan da çözülebilir. İçlerinde en son ve en keyifli olan Monty Hall Paradoksu o kadar şaşırtıcı ki, aklınıza en çok yatanı seçebilmeniz için çözümlemesini ve analizini birkaç farklı yoldan yapmaya çalışacağım.

Bu bölümdeki her paradoks, “doğru-çıkarımlı”* veya “yanlış-çıkarımlı”** olmak üzere iki kategoriden birine dahil. Doğru-çıkarımlı paradoks, sağduyuya aykırı olduğu için yanlışmış izlenimi uyandıran bir sonuca varan, ancak doğru olduğu mantık kurallarıyla gösterilebilen paradokstur. Aslına bakarsanız bu tarz soruların asıl zevki, bir yerlerde bir numara varmış hissine kapılan dinleyiciye, varılan sonucun doğru olduğunu gösteren en inandırıcı yolu bulmakta yatar. Birazdan bakacağımız Doğum Günü Paradoksu ve Monty Hall Paradoksu bu kategoriye girer.

Yanlış-çıkarımlı paradoks ise gayet akla yatkın şekilde başlayıp saçma bir sonuca varır. Gelgelelim, bu sefer varılan saçma sonuç gerçekten de hatalıdır; ispat sırasında ince bir kandırmaca veya hatalı adım vardır.

Yanlış çıkarımlı paradokslara örnek olarak, birkaç adımda 2 = 1 olduğunu “ispatlayan” matematiksel aldatmacaları gösterebiliriz. Böyle bir şeyi “ispatlayan” kişi mantık ve felsefe üzerine ne kadar dil dökerse döksün ikna olmamalıyız. Burada bu tür aldatmacalara yer vermeyeceğim; sonuçta herkes benim kadar cebire meraklı olmak zorunda değil. Ama yine de şunu söylemeden geçmeyelim: Genelde bu gibi “ispatlardaki” adımlardan birinde eşitlik sıfıra bölünür. Sıfıra bölme, matematikçilerin itinayla kaçındıkları bir hatadır. Bunların yerine, minimum matematik becerisiyle takip edilebilecek birkaç soruya yoğunlaşacağız. İki tane nefis, yanlış-çıkarımlı paradoksla işe koyulalım: Kayıp Doların Gizemi ve Bertand’ın Kutusu Paradoksu.

Kayıp Doların Gizemi

Bu harika bilmeceyi birkaç yıl önce “Mind Games” adlı televizyon yarışma programına katıldığımda kullanmıştım −gerçi bilmece bana ait değil. Programda her hafta yarışmacılar, matematikçi Marcus du Sautoy’un hazırlamış olduğu bilmeceleri çözebilmek için yarışıyorlardı. Ayrıca her yarışmacı en sevdiği bilmeceyi getirerek diğer takımın yarışmacılarını çuvallatmaya çalışıyordu.

Bilmece şöyle:

Üç yolcu geceyi geçirmek için bir otele gelmişler. Genç resepsiyoncu üç yataklı bir oda için 30 dolar istemiş. Üç yolcu, her biri eşit olarak 10 dolar verecek şekilde anlaşmışlar. Anahtarı alıp odaya çıkmışlar. Birkaç dakika sonra resepsiyonist bir hata yaptığını farketmiş. Otel bir haftalığına özel bir kampanya başlattığı için yolculardan aslında 25 dolar alması gerekiyormuş. Müdüre farkettirmeden hatasını düzeltmek üzere kasadan bir 5 dolarlık kaptığı gibi müşterilerin odasına fırlamış. Yolda beş doları üç kişiye bölüştüremeyeceği aklına gelince her bir müşteriye birer dolar verip geri kalan iki doları kendisi almaya karar vermiş. Böylece herkes memnun olur diye düşünmüş. Fakat şöyle bir sorun var: Bu durumda üç arkadaştan her biri dokuzar dolar vermiş olacak. Bu para otelin kasasına giren 27 dolara karşılık geliyor. Resepsiyonistin cebine de 2 dolar girdi; etti 29 dolar. Peki ilk baştaki 30 doların son bir dolarına ne oldu?

Bu sorunun yanıtını belki bir bakışta görebilirsiniz. Açıkçası ben göremedim. Bu yüzden okumaya devam etmeden önce biraz düşünün isterseniz.

Buldunuz mu? Sorunun paradoks gibi gözükmesinin tek nedeni ifade ediliş şekli. Mantıktaki hata, 27 dolarla resepsiyonistin aldığı 2 doları birbirine eklemekte. Ortada artık 30 dolarlık bir hesap olmadığına göre bunları toplamanın anlamı yok. Resepsiyonistin aldığı 2 doları yolcuların ödediği 27 dolardan çıkarmamız gerekir, toplamamız değil. O zaman otelin aldığı 25 doları buluruz.

Bertrand’ın Kutusu Paradoksu

Bakacağımız ikinci yanlış-çıkarımlı paradoks, 19. yüzyıl Fransız matematikçisi Joseph Bertrand’a mal edilir. (Bertrand’ın en ünlü paradoksu bu değil gerçi; daha teknik matematik gerektiren bir paradoksu daha var.)

Her biri iki bölmeli üç kutu var. Her bölmenin içinde bir madeni para var. Bölmeleri kutunun diğer bölmesinden bağımsız olarak açıp içindeki paraya bakabiliyoruz. Bir kutuda iki altın para (buna AA diyelim), bir diğerinde iki gümüş para (GG), ve son kutuda bir altın,

———

* İng: Veridical
** İng: Falsidical